dnes je 3.10.2022

Input:

Směsové plány

22.1.2009, , Zdroj: Verlag Dashöfer

17.2.4.1
Směsové plány

Doc. RNDr. Bohumil Maroš, CSc.

V některých případech se v praxi zajímáme o produkt, který je směsí složek. Chceme najít optimální kombinaci těchto složek, abychom dosáhli požadované vlastnosti sledované veličiny. Znamená to, že se zde spíše zajímáme o podíly jednotlivých složek než o celkové množství těchto složek. Protože tyto složky dohromady tvoří celek, tato skutečnost se dá vyjádřit požadavkem, že součet těchto složek je jednička. V případě, že podíly složek vyjadřujeme v procentech, pak bude součet složek tvořit 100 procent.

Může se jednat např. o výrobu benzínu, ale též dortu. Nebo o složení pracích prostředků či asfaltu. Farmaceutický nebo chemický průmysl se bez těchto úvah neobejde. Sledovaná veličina může být jediná, ale může jich být i více.

Responze

Responze (sledovaná veličina) je zde funkcí jednotlivých podílů složek. Plán experimentu pro směs se liší od faktoriálního plánu. Jednotlivé složky směsi nemohou být nezávislé, protože jsou omezeny podmínkou, že jejich součet tvoří celek. Znamená to například, že nemůžeme všechny faktory nastavit na horní (či dolní) úroveň, protože bychom nedodrželi omezující podmínku.

Předpokládejme, že produkt tvoří celkem k složek x1, x2,...,xk. Ze skutečnosti, že tyto složky tvoří celek, obdržíme podmínky pro všechna i:

Oblast návrhu experimentu je tvořena simplexem - obrazcem ohraničeným (k-1) rozměrnou oblastí s k vrcholy.

Dvě složky

Uvažujeme-li dvě složky, pak všechny možné kombinace směsí leží na úsečce AB, kde bod A má souřadnice [1, 0] a bod B = [0, 1]. Bod A představuje jednosložkovou směs, která má nulový podíl složky x2, takže směs obsahuje pouze složku x1. Jdeme-li po této úsečce z bodu

Tři složky

A do bodu B, pak do směsi přibývá podíl složky x2 tak, že postupně ubývá podíl složky x1, ale stále platí x1 + x2 = 1.

Obdobně pro tři složky ve směsi platí x1 + x2 + x3 = 1. Tento vztah je rovnicí roviny v třírozměrném prostoru, která na všech třech osách vytíná jednotkový úsek. Protože jsou jednotlivé podíly složek nezáporná čísla, tak se nejedná o celou rovinu, ale o trojúhelník s vrcholy na jednotlivých osách ve vzdálenosti 1 od počátku. V těchto vrcholech se jedná o jednosložkové směsi. V bodech stran trojúhelníku se jedná vždy o dvousložkové směsi, v nichž jsou zastoupeny pouze ty složky, jež spojuje tato strana. Pohybujeme-li se uvnitř trojúhelníka, pak se jedná o třísložkové směsi.

Geometrický pohled na souřadný systém pro tři složky

Směsové návrhy

Směsové návrhy můžeme rozdělit na:

  • centroidní,

  • mřížové,

  • s omezením.

Plány centroidní a mřížové se liší v tom, jak se v experimentu zvolí poměry jednotlivých složek směsi. Návrh s omezením počítá s tím, že někdy jsou dány konkrétní hranice na zastoupení jednotlivých složek ve směsi - procentuálně, množstvím či jinou podmínkou.

Centroidní plán pro 2 složky

Centroidní plán pro 2 složky

Máme složky a x2. Rozlišujeme dva případy:

  • bez axiálních bodů

Bod A představuje směs, ve které je zastoupena plně složka x1, kdežto podíl složky x2 je nulový. Bod B představuje směs, ve které je zastoupena plně složka x2, kdežto podíl složky x1 je nulový. Středový bod S představuje směs (dvousložková směs), kde obě složky ve směsi mají stejný podíl, tzn. poloviční.

  • s axiálními body

Axiální bod X1 = [3/4, 1/4] představuje směs, ve které je ze tří čtvrtin zastoupena složka x1 a z jedné čtvrtiny složka x2. Podle bodu X2 budou namíchány opačné poměry složek než v X1.

Chceme vhodným poměrem komponent PDH a PCC namíchat optimální směs jako vhodný prostředek proti lýkožroutům. Za tímto účelem vytvoříme centroidní plán s axiálními body pro dvě složky. Abychom obdrželi spolehlivější výsledek, provedeme dvě opakovaná pozorování v centroidním bodě a v axiálních bodech - celkem 8 měření. Měření spočívá v tom, že se aplikuje postřik vždy na 200 brouků a pak se spočítá počet uhynulých.

Analýzou těchto dat obdržíme model pro predikci počtu usmrcených brouků z 200 brouků:

počet = 91,67 * PDH + 129,67 * PCC + 237,33 * PDH * PCC.

Nahrávám...
Nahrávám...