dnes je 28.11.2022

Input:

Nejistota výsledku zkoušky

10.10.2007, , Zdroj: Verlag Dashöfer

3.8.2
Nejistota výsledku zkoušky

Dr. Ing. Rostislav Suchánek a kolektiv autorů

Definice nejistoty

Předchozí část

Definice nejistoty dle ČSN ISO 3534-1 „Statistika – slovník a značky. část 1: Pravděpodobnost a obecné statistické termíny“:

Nejistota

Nejistota: odhad přiřazený k výsledku a charakterizující interval hodnot, o němž se tvrdí, že uvnitř něho leží správná hodnota.

Poznámky:

  1. Nejistota měření obecně sestává z mnoha složek. Některé z těchto složek lze odhadnout na základě statistického rozdělení výsledků řady měření a lze je charakterizovat směrodatnými odchylkami. Odhady jiných složek lze provést pouze na základě zkušenosti nebo dalších informací.

  2. Má se rozlišovat mezi nejistotou a odhadem přiřazeným k výsledku zkoušky, který charakterizuje interval hodnot, o němž se tvrdí, že uvnitř něho leží střední hodnota. Takovýto odhad je spíše mírou shodnosti než nejistotou a má se používat pouze tehdy není-li definována pravá hodnota. Použije-li se místo pravé hodnoty střední hodnota, měl by se rovněž užívat výraz „náhodná složka nejistoty“.

Definice nejistoty dle ČSN 01 0115 „Mezinárodní slovník základních a všeobecných pojmů v metrologii“:

Nejistota měření

Nejistota měření: parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptyl hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině.

Poznámky:

  1. Tímto parametrem může být například směrodatná odchylka (nebo její násobek) nebo polovina šířky intervalu, jehož konfidenční úroveň je stanovena.

  2. Nejistota měření obecně zahrnuje mnoho složek. Některé mohou být vyhodnoceny ze statistického rozložení výsledků série měření a mohou být charakterizovány výběrovou směrodatnou odchylkou. Jiné složky, které mohou být rovněž charakterizovány směrodatnými odchylkami, se vyhodnocují z předpokládaných rozložení pravděpodobnosti na základě zkušeností nebo jiných informací.

  3. Má se za to, že výsledek měření je nejlepším odhadem hodnoty měřené veličiny a že k rozptylu přispívají všechny složky nejistoty včetně těch, které vznikají ze systematických vlivů, jako jsou složky spojené s korekcemi a referenčními etalony.

Odhad nejistoty výsledku zkoušky je charakterizován následujícími pojmy:

  • Standardní nejistota výsledku měření/standardní nejistota měřené veličiny: parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptyl hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině – odpovídá definici nejistoty například dle ČSN 01 0115.

  • Standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky: odhad je tvořen kombinací ze standardních nejistot měřených proměnných veličin.

  • Rozšířená (celková) nejistota výsledku zkoušky: odhaduje se jako násobek standardní kombinované nejistoty. Interval, o kterém se předpokládá, že zahrnuje značný počet distribuce hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány výsledku zkoušky.

Odhad rozšířené nejistoty výsledku zkoušky lze provést dle schématu na obrázku 1.

Odhad nejistoty výsledku zkoušky

Vyjadřování standardní kombinované nejistoty

Matematická formule pro odhad nejistoty výsledku zkoušky je určena vztahem, který je znám jako kovariační zákon pro šíření nejistot. Kovariační zákon pro šíření nejistot definuje obecný vztah mezi nejistotou výsledku zkoušky y a nejistotami jednotlivých měřených proměnných veličin xi ovlivňujících výsledek zkoušky. Kovariační zákon pro šíření nejistot platí v obecných případech, tedy v případech, kdy proměnné xi jsou vzájemně závislé i nezávislé:

kde s(x, ij) je kovariace mezi veličinami xi a xj.

Příspěvky jednotlivých veličin k nejistotě výsledku zkoušky jsou dány druhou mocninou součinu parciální derivace funkce vůči veličině xi a příslušné standardní nejistoty u(xi). Hodnota u(xi) v prvním členu je standardní nejistota veličiny xi popisující nejistotu stanovení měřené proměnné veličiny xi. Parciální derivace v prvním členu se také někdy nazývá citlivostí (koeficient citlivosti). Veličina uc(y) se pak nazývá standardní kombinovaná nejistota vzniklá kombinací z dílčích standardních nejistot a citlivostních koeficientů. Druhý člen v rovnici popisuje vzájemnou kovariaci vstupních veličin xi a xj.

kde s(x, ij) je výběrová kovariace mezi xi a xj definovaná jako součet součinů odchylek xi a xj od svých průměrů dělený o jedničku zmenšeným počtem dvojic (n je počet pozorovaných dvojic).

s(x, ij) = u(xiu(xjrij,

kde rij je výběrový korelační koeficient definovaný jako poměr výběrové kovariace dvou znaků a součinu jejich výběrových směrodatných odchylek:

 
kde s(x, ij) je výběrová kovariace znaků Xi a Xj
u(xi) a u(xj) jsou výběrové směrodatné odchylky Xi a Xj.

Hodnota rij leží mezi čísly –1 a +1. Rovná-li se výběrový korelační koeficient rij některé z těchto hraničních mezí, znamená to, že mezi proměnnými Xi a Xj v řadě párových pozorování je přesná lineární závislost. Rovná-li se výběrový korelační koeficient rij nule, může být mezi Xi a Xj vzájemná nezávislost.

Při vzájemné nezávislosti vstupních veličin lze kovariační zákon pro šíření nejistot (3) psát ve tvaru, který je nazýván jako tzv. Gaussův zákon pro šíření nejistot:

kde y = ƒ(x1, x2, ...x n) je funkcí n parametrů xi, příslušné parciální derivace jsou koeficienty citlivosti a u(xi) jsou standardní nejistoty. Příspěvek každé proměnné je dán součinem druhé mocniny příslušné nejistoty vyjádřené ve formě směrodatné odchylky a druhé mocniny odpovídající parciální derivace. Hodnota uc(y) představuje standardní kombinovanou nejistotu výsledné veličiny/výsledku zkoušky y na určité hladině spolehlivosti.

Pro vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky se nedoporučuje používat symbol ±, tento symbol se používá pro vyjádření s vyšší úrovní spolehlivosti.

Pro tzv. „zvláštní tvary“ matematické funkce pro vyjádření výsledku zkoušky jsou známy základní pravidla pro slučování nejistot, která byla odvozena pro „zvláštní tvary“ matematické funkce z Gaussova zákona pro šíření nejistot (byla uvažována vzájemná nezávislost měřených proměnných veličin). Pravidla se týkají těchto „zvláštních tvarů“ matematické funkce pro vyjádření výsledku zkoušky:

  • Vícenásobná funkční závislost aditivního charakteru – funkční závislost obsahuje operace sčítaní a/nebo odečítání:

    y = ƒ(p; x1 + x2x3 + .... + xn)

  • Vícenásobná funkční závislost multiplikativního charakteru – funkční závislost obsahuje operace násobení a/nebo dělení:

    y = ƒ(p; x1 / x2·x3 / .... / xn)

Pravidlo 1: pro funkční závislost aditivního charakteru lze standardní kombinovanou nejistotu uc (y) odhadovat dle vztahu:

kde u(xi) jsou standardní nejistoty měřených proměnných veličin. Pro odečítání i sčítání se používá analogický vztah.

Pravidlo 2: pro funkční závislost multiplikativního charakteru lze standardní kombinovanou nejistotu uc(y) odhadovat dle vztahu:

kde u(xi)/xi jsou relativní standardní nejistoty měřených proměnných veličin. Pro násobení i dělení se používá analogický vztah.

Vyjadřování standardních nejistot

Odhad standardních nejistot

Podle definice je nejistota měření, tedy nejistota měřené proměnné veličiny xi (standardní nejistota),

Nahrávám...
Nahrávám...