3.8.4 Praktické aplikace při používání nejistot
Dr. Ing. Rostislav Suchánek a kolektiv autorů
Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku
zkoušky
Model pro vyjádření výsledku zkoušky
Výsledek zkoušky se vyjadřuje v obecném tvaru:
Y = y ± U
| kde | Y je skutečná hodnota výsledku
zkoušky, |
| | y je výsledek zkoušky (hodnota
zjištěná při zkoušce), |
| | U je celková/rozšířená
nejistota. |
Celková/rozšířená nejistota je násobkem koeficientu rozšíření k a standardní kombinované nejistoty uc (y). Výpočtový
model pro odhad standardní kombinované nejistoty uc (y) je
funkcí standardních nejistot u(xi) dílčích měřených
proměnných veličin. Model pro odhad standardní kombinované nejistoty uc (y) obecně vychází z kovariačního zákona pro šíření
nejistot; podle matematického tvaru funkční závislosti pro vyjádření výsledku
zkoušky lze uvažovat o následujících možnostech:
-
výsledek zkoušky y je vyjadřován dle obecné vícenásobné
funkční závislosti,
-
výsledek zkoušky y je vyjadřován dle vícenásobné funkční
závislosti aditivního charakteru,
-
výsledek zkoušky y je vyjadřován dle vícenásobné funkční
závislosti multiplikativního charakteru,
-
výsledek zkoušky y je vyjadřován dle jednoduché funkční
závislosti – výsledek zkoušky je přímo měřenou veličinou.
Vícenásobná funkční závislost
Výsledek zkoušky y je funkcí několika měřených veličin
(obecně n měřených proměnných veličin xi ) a vyjadřuje
se dle obecné vícenásobné funkční závislosti:
y = f (x 1, x 2, x 3 ....... xn )
Příklad:
Oteplení při použití odporové metody ve °C (∆t) se vypočítá dle
obecné vícenásobné funkční závislosti (ve vzorci jsou operace násobení a/nebo
dělení a/nebo sčítaní a/nebo odečítání):
∆ t = | R 2 – R 1
––––––– |
x (234,5 + t 1) – (t 2 – t 1) |
| R 1 |
Stanovovanými proměnnými veličinami při stanovení oteplení při
použití odporové metody jsou:
t1... je teplota okolí ve °C,
t2... je povrchová teplota izolantů ve °C,
R1... je odpor za studena ve Ω,
R2... je odpor vinutí ve Ω.
Standardní kombinovaná nejistota uc (y) výsledku zkoušky y se stanovuje podle kovariačního zákona pro šíření
nejistot:
nebo při vzájemné nezávislosti měřených proměnných veličin podle
Gaussova zákona pro šíření nejistot:
| kde: | y je označení funkce pro
vyjádření výsledku zkoušky, |
| | u(xi) jsou standardní
nejistoty jednotlivých měřených veličin xi , |
| | δy/ˇδxi jsou parciální
derivace funkce pro vyjádření výsledku zkoušky podle jednotlivých měřených
veličin (citlivost). |
Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve
kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné
hodnoty výsledku zkoušky Y.
Příklad: Standardní kombinovaná nejistota hodnoty oteplení při
použití odporové metody ve ° C (∆t) se musí odhadovat podle kovariačního zákona
pro šíření nejistot nebo při nezávislosti měřených proměnných veličin podle
Gaussova zákona:
Funkční závislost aditivního charakteru
Výsledek zkoušky y je funkcí několika měřených veličin
(obecně n měřených proměnných veličin xi ) a vyjadřuje
se dle funkční závislosti aditivního charakteru:
y = f (x 1 + x 2 – x 3 + .... – xn )
Příklad: Oteplení při měření povrchových teplot ve °C (∆t) se
vypočítá dle obecné vícenásobné funkční závislosti aditivního charakteru (ve
vzorci jsou operace sčítaní a/nebo odečítání):
∆ t = t2 + x1
Stanovovanými proměnnými veličinami při stanovení oteplení při
měření povrchových teplot jsou:
t1... je teplota okolí ve °C,
t2... je povrchová teplota izolantů ve °C.
Standardní kombinovaná nejistota uc (y) výsledku zkoušky y se může stanovit podle kovariačního zákona pro šíření
nejistot, při vzájemné nezávislosti měřených proměnných veličin pak podle
Gaussova zákona. Pro aditivní charakter vícenásobné funkční závislosti lze
použít i upravený vztah:
| kde: | y je označení funkce pro vyjádření
výsledku zkoušky, |
| | u(xi) jsou standardní
nejistoty jednotlivých měřených proměnných veličin xi. |
Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve
kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné
hodnoty výsledku zkoušky Y.
Příklad: Standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky –
oteplení při měření povrchových teplot ve °C (∆t) – se může odhadnout podle
kovariačního zákona pro šíření nejistot nebo při nezávislosti měřených
proměnných veličin podle Gaussova zákona. Odhad standardní kombinované
nejistoty lze provést i dle vztahu:
Funkční závislost multiplikativního charakteru
Výsledek zkoušky y je funkcí několika měřených veličin
(obecně n měřených proměnných veličin xi ) a vyjadřuje
se dle funkční závislosti multiplikativního charakteru:
y = f (x 1 x x 2 / x 3 + ............ xn )
Příklad: Pevnost v tlaku zkušebních betonových těles
(fc) se vypočítá dle funkční závislosti multiplikativního charakteru
(ve vzorci jsou pouze operace násobení a/nebo dělení):
fc =
| F
––– = | F
––– |
| Ac | a x b |
Stanovovanými proměnnými veličinami při stanovení pevnosti v tlaku
zkušebního tělesa jsou:
F ... je maximální zatížení při porušení zkušebního tělesa v
N,
a, b ... jsou strany krychle zkušebního tělesa v mm.
Standardní kombinovaná nejistota uc (y) výsledku zkoušky y se může stanovit podle kovariačního zákona pro šíření
nejistot, při vzájemné nezávislosti měřených proměnných veličin pak podle
Gaussova zákona. Pro multiplikativní charakter vícenásobné funkční závislosti
lze použít i upravený vztah:
| kde: | y je označení funkce pro vyjádření
výsledku zkoušky, |
| | u(xi)/xi jsou relativní standardní nejistoty jednotlivých měřených veličin xi. |
Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve
kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné
hodnoty výsledku zkoušky Y.
Příklad: Standardní kombinovanou nejistotu hodnoty pevnosti v
tlaku zkušebních betonových těles uc (fc) můžeme
odhadovat podle vztahu:
Jednoduchá funkční závislost
Výsledek zkoušky y je přímo měřenou veličinou; náhodná
závislost:
y = f (x)
Příklad: Hodnota maximálního zatížení při porušení zkušebního
tělesa F při zkoušce pevnosti v tlaku zkušebních betonových těles se přímo
odečte ze stupnice zkušebního stroje (lisu) jako měřená proměnná veličina.
Hodnota maximálního zatížení při porušení zkušebního tělesa je přímo
stanovovanou veličinou.
Standardní kombinovaná nejistota uc (y) výsledku zkoušky y se určuje dle vztahu:
| kde: | y je označení funkce pro vyjádření
výsledku zkoušky, |
| | ui (x) jsou dílčí
složky standardní nejistoty měřené veličiny x. |
Standardní kombinovaná nejistota vyjadřuje oboustranný interval, ve
kterém s přibližně 68% úrovní spolehlivosti předpokládáme výskyt skutečné
hodnoty výsledku zkoušky Y.
Příklad: Standardní kombinovanou nejistotu hodnoty pevnosti v
tlaku zkušebních betonových těles uc (fc) můžeme
odhadovat podle vztahu:
| kde: ui (F) | jsou dílčí složky standardní nejistoty
vyjadřující nepřesnosti při odečtu hodnoty (nepřesnost použitého zkušebního
stroje, nepřesnosti vznikající z náhodných vlivů atd.). |
Zásady pro prezentaci výsledků a nejistot
Prezentace výsledku a nejistoty
-
Nejistota výsledku zkoušky (celková, rozšířená) se vyjadřuje
jako oboustranný interval v absolutní podobě nebo v podobě relativní. Oba
způsoby vyjadřování jsou rovnocenné.
-
Pro vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku
zkoušky se nedoporučuje používat symbol ±, tento symbol se používá pro
vyjádření s vyšší úrovní spolehlivosti.
-
Nejistota výsledku zkoušky se udává na dvě platná místa
(dvouciferným číslem), přičemž adekvátní je i údaj na jedno platné místo.
-
Údaj nejistoty na dvě platná místa se používá při přesných
stanoveních a tehdy, kdy by v jednočíselném údaji vystupovaly číslice 1, 2 nebo
3.
-
Hodnoty nejistot počítané v průběhu kvantifikace dílčích složek
na více míst se na jedno nebo dvě platná místa zaokrouhlují vždy nahoru.
-
Hodnota výsledku zkoušky se udává na stejný počet míst jako
hodnota nejistoty tak, aby nejnižší desetinné místo bylo stejné jako nejnižší
desetinné místo údaje nejistoty. Údaj výsledku zkoušky se zaokrouhluje nahoru
nebo dolů podle toho, která hodnota je bližší.
-
Pravidla zaokrouhlování se týkají konečného výsledku a jeho
nejistoty. Hodnoty dílčích výsledků a hodnoty dílčích složek nejistoty
odečítané nebo měřené v průběhu měření se zaokrouhlují o jeden až dva desetinné
řády níže.
-
Nejistota je veličina, proto musí být její součástí vždy
jednotka. I nejistota vyjádřená v relativní formě v procentech má jednotku
shodnou s jednotkou vlastního výsledku zkoušky (nejistota vyjádřená v relativní
formě udává hodnotu nejistoty jako procentuální část z výsledku zkoušky).
Příklady uvádění výsledků zkoušek:
-
Naměřené napětí je 15,12 V, celková nejistota je U = 0,05 V.
-
Naměřené napětí je (15,12 ± 0,05) V.
-
Naměřené napětí je 15,12 V s celkovou nejistotou 1,0 %.
Významné a nevýznamné složky nejistoty
Standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky se vyjadřuje dle
kovariačního zákona pro šíření nejistot nebo při vzájemné nezávislosti měřených
veličin dle Gaussova zákona pro šíření nejistot:
Při stanovení vztahu pro vyjádření standardní nejistoty jedné měřené
proměnné veličiny se vychází z Gaussova zákona pro xi = x1 , a tedy vztah pro odhad standardní nejistoty měřené
veličiny (výsledku měření) je dán vztahem:
| kde: | x1 je označení funkce
pro vyjádření výsledku měření, |
| | ui (x1) jsou
dílčí složky standardní nejistoty měřené veličiny x1. |
Dílčí složky standardní nejistoty vyjadřují příspěvky ke standardní
nejistotě vznikající z různých nepřesností v procesu měření. Tyto příspěvky
mohou vznikat například z náhodných efektů nebo příspěvky vznikající z
nepřesnosti používaného měřicího/zkušebního zařízení nebo příspěvky vznikající
z nepřesnosti použité měřicí metody atd. Ne všechny složky musí mít/mají
výrazný vliv na standardní nejistotu měřené veličiny. Příspěvky z jednotlivých
zdrojů se člení dle své velikosti na příspěvky významné (dominantní) a příspěvky nevýznamné…
