Směsové plány

17.2.4.1

Směsové plány

Doc. RNDr. Bohumil Maroš, CSc.

V některých případech se v praxi zajímáme o produkt, který je směsí složek. Chceme najít optimální kombinaci těchto složek, abychom dosáhli požadované vlastnosti sledované veličiny. Znamená to, že se zde spíše zajímáme o podíly jednotlivých složek než o celkové množství těchto složek. Protože tyto složky dohromady tvoří celek, tato skutečnost se dá vyjádřit požadavkem, že součet těchto složek je jednička. V případě, že podíly složek vyjadřujeme v procentech, pak bude součet složek tvořit 100 procent.

Může se jednat např. o výrobu benzínu, ale též dortu. Nebo o složení pracích prostředků či asfaltu. Farmaceutický nebo chemický průmysl se bez těchto úvah neobejde. Sledovaná veličina může být jediná, ale může jich být i více.

 NahoruResponze

Responze (sledovaná veličina) je zde funkcí jednotlivých podílů složek. Plán experimentu pro směs se liší od faktoriálního plánu. Jednotlivé složky směsi nemohou být nezávislé, protože jsou omezeny podmínkou, že jejich součet tvoří celek. Znamená to například, že nemůžeme všechny faktory nastavit na horní (či dolní) úroveň, protože bychom nedodrželi omezující podmínku.

Předpokládejme, že produkt tvoří celkem k složek x₁, x₂,...,x_k. Ze skutečnosti, že tyto složky tvoří celek, obdržíme podmínky pro všechna i:

Oblast návrhu experimentu je tvořena simplexem - obrazcem ohraničeným (k-1) rozměrnou oblastí s k vrcholy.

 NahoruDvě složky

Uvažujeme-li dvě složky, pak všechny možné kombinace směsí leží na úsečce AB, kde bod A má souřadnice [1, 0] a bod B = [0, 1]. Bod A představuje jednosložkovou směs, která má nulový podíl složky x₂, takže směs obsahuje pouze složku x₁. Jdeme-li po této úsečce z bodu

 NahoruTři složky

A do bodu B, pak do směsi přibývá podíl složky x₂ tak, že postupně ubývá podíl složky x₁, ale stále platí x₁ + x₂ = 1.

Obdobně pro tři složky ve směsi platí x₁ + x₂ + x₃ = 1. Tento vztah je rovnicí roviny v třírozměrném prostoru, která na všech třech osách vytíná jednotkový úsek. Protože jsou jednotlivé podíly složek nezáporná čísla, tak se nejedná o celou rovinu, ale o trojúhelník s vrcholy na jednotlivých osách ve vzdálenosti 1 od počátku. V těchto vrcholech se jedná o jednosložkové směsi. V bodech stran trojúhelníku se jedná vždy o dvousložkové směsi, v nichž jsou zastoupeny pouze ty složky, jež spojuje tato strana. Pohybujeme-li se uvnitř trojúhelníka, pak se jedná o třísložkové směsi.

Geometrický pohled na souřadný systém pro tři složky

 NahoruSměsové návrhy

Směsové návrhy můžeme rozdělit na:

• centroidní,

• mřížové,

• s omezením.

Plány centroidní a mřížové se liší v tom, jak se v experimentu zvolí poměry jednotlivých složek směsi. Návrh s omezením počítá s tím, že někdy jsou dány konkrétní hranice na zastoupení jednotlivých složek ve směsi - procentuálně, množstvím či jinou podmínkou.

 NahoruCentroidní plán pro 2 složky

Centroidní plán pro 2 složky

Máme složky a x₂. Rozlišujeme dva případy:

• bez axiálních bodů

Bod A představuje směs, ve které je zastoupena plně složka x₁, kdežto podíl složky x₂ je nulový. Bod B představuje směs, ve které je zastoupena plně složka x₂, kdežto podíl složky x₁ je nulový. Středový bod S představuje směs (dvousložková směs), kde obě složky ve směsi mají stejný podíl, tzn. poloviční.

• s axiálními body

Axiální bod X1 = [3/4, 1/4] představuje směs, ve které je ze tří čtvrtin zastoupena složka x₁ a z jedné čtvrtiny složka x₂. Podle bodu X2 budou namíchány opačné poměry složek než v X1.