Příklady modelů pro optimslizaci plánu výroby

17.3.1.5

Příklady modelů pro optimslizaci plánu výroby

Doc. Ing. Alois Fiala, CSc.

 NahoruLineární modely

Předpokládejme, že podnik je schopen vyrábět n typů výrobků, přičemž k výrobě využívá m druhů zdrojů. Je třeba pro dané období stanovit výrobní program (tj. určit, které typy výrobků a v jakém množství se mají vyrábět) tak, aby nebyly překročeny kapacity výrobních zdrojů a aby bylo dosaženo maximální hodnoty produkce.

Předpokládáme, že závislosti mezi objemem výroby na jedné straně a spotřebou zdrojů na druhé straně jsou lineární. Dále předpokládáme, že množství výrobků jsou libovolně dělitelná (to je možné např. v chemické výrobě, ale velmi často takto model zjednodušujeme i v situacích, kdy tento předpoklad není splněn).

 NahoruVeličiny modelu

Na základě analýzy problému lze stanovit následující veličiny modelu:

• Neřiditelné veličiny:

  aij ...	spotřeba i-tého zdroje na výrobu jednotky j-tého výrobku,
  bi ...	kapacita i-tého zdroje,
  cj ...	cena za jednotku j-tého výrobku,

• Rozhodovací proměnné:

  x_j ... vyrobené množství j-tého výrobku.

• Výsledková proměnná:

  z ... celková hodnota produkce.

Při specifikaci veličin modelu je důležité, aby byl model konzistentní z hlediska použitých jednotek. V tomto případě to znamená, že hodnoty spotřeby a_ij jednotlivých zdrojů musejí být vyjádřeny ve stejných jednotkách jako kapacity b_i těchto zdrojů, že se musejí shodovat cenové jednotky u veličin c_j a z a že pro každý výrobek musí být použita stejná jednotka množství tohoto výrobku u veličin a_ij, c_j a x_j.

 NahoruCelková hodnota produkce

Kriteriální funkce vyjadřuje celkovou hodnotu produkce za dané období. Hodnota produkce j-tého výrobku je rovna c_j x_j, a tedy pro celkovou hodnotu produkce platí:

Vlastní omezení vyjadřují, že spotřeby zdrojů nesmějí překročit jejich kapacity. Za předpokladu linearity závislostí mezi veličinami modelu je spotřeba i-tého zdroje na výrobu množství x_j j-tého výrobku rovna a_ijx_j, a tedy pro i-tý zdroj musí platit podmínka:

 NahoruPodmínky

Dále pro jednotlivé rozhodovací proměnné musejí být předepsány podmínky nezápornosti (nemůžeme vyrobit záporné množství j-tého výrobku):

x_j ≥ 0.

Matematický model pak vypadá takto:

maximalizovat

za podmínek

Připomeňme, že vhodnou volbou jednotek můžeme zajistit, že se v modelu nebudou vyskytovat řádově příliš odlišné hodnoty, a tak zlepšit výpočetní vlastnosti modelu. Změna jednotek zdrojů ovlivňuje hodnoty v odpovídajících řádcích soustavy omezujících podmínek a změna jednotek výrobků ovlivňuje hodnoty v odpovídajících sloupcích této soustavy. Např. nechť i-tým zdrojem je nějaká surovina, jejíž množství i spotřeba jsou vyjádřeny v kilogramech. Když změníme tuto jednotku na 100 kg, odpovídající hodnoty a_ij a b_i se sníží stokrát. Když místo kilogramu použijeme gram, pak se uvedené hodnoty zvýší tisíckrát. Jestliže např. stokrát zvýšíme (snížíme) jednotku množství j-tého výrobku, pak se hodnoty a_ij a c_j zvýší (sníží) stokrát. Když budeme ceny výrobků a celkovou hodnotu produkce vyjadřovat v tisícikorunách místo v korunách, pak se hodnoty c_j tisíckrát sníží.

 NahoruZpůsoby úprav

Vytvořený model je modelem lineárního programování. Tento model může být upravován nebo doplňován např. následujícími způsoby.

Jestliže je dán požadavek, že kapacita k-tého zdroje musí být plně vyčerpána, musí mít příslušné omezení tvar rovnice:

Je-li možný odbyt r-tého výrobku omezen nejvýše na jednotek, musí být do modelu doplněno omezení:

x_r ≤ h_r

Může být také požadováno, že musí být vyrobeno alespoň jednotek s-tého výrobku, aby byly splněny objednávky odběratelů. Pak je třeba model rozšířit o podmínku:

x_s ≥ d_s.

V případě, že nejde o finální výrobky, ale o komponenty, které se montují do nějakých vyšších celků, mohou být dány požadavky na poměry mezi množstvími těchto komponent. Požadavku, že množství i-tého a j-tého výrobku musí být v poměru p_i : p_j, odpovídá omezení:

Má-li být zachována linearita modelu, je třeba toto omezení upravit takto:

p_jx_j – p_ix_j = 0.

V případě, že některé výrobky jdou jednak na odbyt, jednak jsou využívány jako polotovary pro výrobu jiných výrobků, musí model obsahovat omezení vyjadřující, že spotřeba těchto výrobků jakožto polotovarů nesmí přesáhnout vyrobené množství. Nechť e_ij označuje množství i-tého výrobku použité jako polotovar pro výrobu jednotky j-tého výrobku (samozřejmě musí platit, že e_ii = 0). Pak příslušné omezení má tvar

resp.

V tomto případě by pak také v účelové funkci vyjadřující hodnotu produkce musely být koeficienty c_j nahrazeny koeficienty ~c_j získanými odečtením ceny použitých polotovarů:

Předpokládejme nyní, že v rámci uvažovaných výrobků se žádný z nich nepoužívá jako polotovar pro výrobu jiného z těchto výrobků, a že chceme maximalizovat celkový zisk. Pak má účelová funkce tvar

 NahoruZisk

kde z je celkový zisk a v_j jsou výrobní náklady na jednotku j-tého výrobku. Tato formulace je založena na předpokladu, že výrobní náklady rostou lineárně s růstem objemu výroby.

S rozhodováním o tom, kolik kterého výrobku vyrábět, může být také spojena volba technologických postupů. Zaveďme následující označení:

 NahoruMatematický model

Matematický model pak bude mít tvar

maximalizovat

za podmínek

 NahoruCeločíselné modely

Pokud je u některých výrobků jejich množství vyjadřováno v kusech resp. násobcích kusů, je nutno předchozí modely rozšířit o podmínky:

kde Z označuje množinu celých čísel. Jde pak o modely celočíselného lineárního programování. Jestliže se požadavek celočíselnosti týká všech výrobků, jde o plně celočíselné modely, v opačném případě jsou to smíšeně celočíselné modely.

Další výskyt podmínek celočíselnosti může vycházet z faktu, že s přípravou výroby každého výrobku jsou spojeny fixní náklady, které nezávisejí na vyrobeném množství. Pokud chceme tyto náklady zohlednit, musíme účelovou funkci vyjádřit ve tvaru (neuvažujeme teď možnosti volby různých technologických postupů):

kde jsou fixní náklady na přípravu výroby j-tého výrobku a jsou další rozhodovací proměnné, které musejí splňovat podmínky:

přičemž M je velké kladné číslo. Tyto podmínky zajišťují, že je-li j-tý výrobek vyráběn (tj. x_j > 0), pak musí být y_j = 1, a tedy jsou započítány fixní náklady w_j. Může se také stát, že s přípravou výroby jednotlivých výrobků jsou rovněž spojeny fixní spotřeby jednotlivých zdrojů. V takovém případě podmínky zohledňující omezené kapacity výrobních zdrojů budou mít tvar:

kde je f_ij fixní spotřeba i-tého zdroje na přípravu výrobu jednotky j-tého výrobku. Zavedením proměnných y_j, které mohou nabývat hodnot 0 nebo 1, se model dostává do kategorie celočíselných modelů (speciálně se takové modely označují jako modely s bivalentními nebo nula-jedničkovými proměnnými).

 NahoruNelineární modely

Zatím jsme předpokládali, že náklady na výrobu jednotky výrobku jsou konstantní. Ve skutečnosti tomu tak není, protože na ně…